Question

已知（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ．
（1）求a₁+a₂+a₃+…+a_2n的值；
（2）求

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

的值．

Answer 1

考点：二项式定理,二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）在所给的等式中，令x=0得，a₀=1；令x=1得，a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ，从而求得a₁+a₂+a₃+…+a_2n的值．
（2）由题意可得a_k=

C

k 2n

，利用组合数的性质可得

1

C k 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

），可得 

1

C k 2n

-

1

C k+1 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

-

1

C k+2 2n+1

）．要求的式子即

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 3 2n+1

+

1

C 3 2n+1

-

1

C 5 2n+1

+…+

1

C 2n-1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

），消项化简可得结果．

解答： 解  （1）在（1+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ 中，
令x=0得，a₀=1；令x=1得，a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ．
于是a₁+a₂+a₃+…+a_2n=2²ⁿ-1．
（2）由题意可得a_k=

C

k 2n

，k=1，2，3，…，2n，
首先考虑

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

=

k!(2n+1-k)!

(2n+1)!

+

(k+1)!(2n-k)!

(2n+1)

 
=

k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1)

(2n+1)!

=

k!(2n-k)!(2n+2)

(2n+1)!

=

2n+2

(2n+1) •C k 2n

，
则

1

C k 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

+

1

C k+1 2n+1

），
∴

1

C k 2n

-

1

C k+1 2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C k 2n+1

-

1

C k+2 2n+1

）．
故

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2n-1

-

1

a2n

=

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 3 2n+1

+

1

C 3 2n+1

-

1

C 5 2n+1

+…+

1

C 2n-1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

）
=

2n+1

2n+2

（

1

C 1 2n+1

-

1

C 2n+1 2n+1

）=

2n+1

2n+2

（

1

2n+1

-1）=-

n

n+1

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用、赋值法、组合数公式、组合数的性质．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下，属于难题．