Question

设数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求证：a_nS_n≤

9

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，由此能求出a2=

3

4

；由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，推导出数列{a_n}是以

3

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=3[1-(

1

2

)n]，由此能证明anSn≤

9

4

．

解答： （Ⅰ）解：由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a1=

3

2

，所以a2=

3

4

．（2分）
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相减，
得 

an+1

an

=

1

2

，又 

a2

a1

=

1

2

，
所以数列{a_n}是以

3

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．（5分）
因此an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*）．（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），得Sn=3-2an+1=3-2•3(

1

2

)n+1=3[1-(

1

2

)n]，（9分）
因为anSn=3•(

1

2

)n•3[1-(

1

2

)n]≤9•(

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

2

)2=

9

4

（12分）
当且仅当(

1

2

)n=1-(

1

2

)n时，
即n=1时，取等号．所以anSn≤

9

4

．（14分）

点评：本题考查数列的第2项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．