Question

对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号＜x＞表示．已知无穷数列{a_n}满足如下条件：
①a₁=＜a＞；②a_n+1=

＜ 1 an ＞(an≠0) 0(an=0)

．
（1）当a=

3

时，数列{a_n}通项公式为

 

；
（2）当a＞

3

2

时，对任意n∈N^*都有a_n=a-1，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）当a=

3

时，a1=＜

3

＞=

3

-1．由＜x＞的意义可得a₂=

3 -1

2

，a₃=

3

-1．即可得出通项公式．
（2）由于对任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，可得

1

2

＜a-1＜1，1＜

1

a-1

＜2．因此a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，解出即可．

解答： 解：（1）当a=

3

时，a1=＜

3

＞=

3

-1．
∴a₂=＜

1

3 -1

＞=＜

3 +1

2

＞=

3 -1

2

，
∴a₃=＜

2

3 -1

＞=＜

3

+1＞=

3

-1．
∴数列{a_n}通项公式为an=

3 -1，n为奇数 3 -1 2 ，n为偶数

．
（2）∵对任意n∈N^*都有a_n=a-1，a＞

3

2

，
可得0≤a-1＜1，a＞

3

2

，
∴

1

2

＜a-1＜1，
∴1＜

1

a-1

＜2．
∴a₂=＜

1

a-1

＞=

1

a-1

-1=a-1，
化为a²-a-1=0，
解得a=

5 +1

2

．
故答案分别为：（1）an=

3 -1，n为奇数 3 -1 2 ，n为偶数

．
（2）

5 +1

2

．

点评：本题考查了新定义＜x＞的计算方法、递推式的意义，考查了推理能力，属于难题．