Question

已知f（x）=lg（-x²+4x）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域、值域；
（2）根据复合函数单调性之间的关系即可求出函数的单调区间．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则-x²+4x＞0，即x²-4x＜0，解得0＜x＜4，即函数f（x）的定义域为（0，4）、
设t=-x²+4x，则t=-x²+4x=-（x-2）²+4∈（0，4]，
则f（x）=lg（-x²+4x）≤lg4，
即函数的值域为（-∞，lg4]；
（2）∵t=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x∈（0，2]时，函数t=-x²+4x单调递增，而y=lgt单调递增，即此时函数f（x）单调递增，
当x∈[2，4）时，函数t=-x²+4x单调递减，而y=lgt单调递增，即此时函数f（x）单调递减，
即函数f（x）的单调增区间为（0，2]，单调递减区间为[2，4）．

点评：本题主要考查函数的定义域，值域以及函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．