Question

11．函数f（x）=-x²+2ax+1，x∈[0，4]，
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1：
（1）当a=1时，f（x）=-（x-1）²+2，易得二次函数的最值；
（2）由二次函数的单调性和对称轴的关系，分类讨论可得．

解答 解：配方可得f（x）=-x²+2ax+1=-（x-a）²+a²+1，
（1）当a=1时，f（x）=-（x-1）²+2，
∴当x∈[0，1]时，函数f（x）单调递增，
当x∈[1，4]时，函数f（x）单调递减，
∴当x=1时，函数取最大值2，
当x=4时，函数取最小值-7；
（2）当a≤0时，函数f（x）在x∈[0，4]上单调递减，
∴当x=0时，函数取最大值1，当x=4时，函数取最小值8a-15，
∴函数的值域为[8a-15，1]；
当a≥4时，函数f（x）在x∈[0，4]上单调递增，
∴当x=0时，函数取最小值1，当x=4时，函数取最大值8a-15，
∴函数的值域为[1，8a-15]；
当0＜a＜2时，函数f（x）在x∈[0，a]上单调递增，在x∈[a，4]上单调递减，
∴当x=a时，函数取最大值a²+1，当x=4时，函数取最小值8a-15，
∴函数的值域为[8a-15，a²+1]；
当2≤a＜4时，函数f（x）在x∈[0，a]上单调递增，在x∈[a，4]上单调递减，
∴当x=a时，函数取最大值a²+1，当x=0时，函数取最小值1，
∴函数的值域为[1，a²+1]．

点评 本题考查二次函数的值域，涉及分类讨论的思想和数形结合，属中档题．