Question

15．已知实数a，b满足2a²-5lna-b=0，c∈R，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 x代换a，y代换b，则x，y满足：2x²-5lnx-y=0，即y=2x²-5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，-x），满足y+x=0．因此求$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值即为求曲线y=2x²-5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x=0平行的切线性质即可得出．

解答 解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x²-5lnx-y=0，即y=2x²-5lnx（x＞0），
以x代换c，可得点（x，-x），满足y+x=0．
因此求$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值即为求曲线y=2x²-5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．
设直线y+x+m=0与曲线y=2x²-5lnx=f（x）相切于点P（x₀，y₀），
f′（x）=4x-$\frac{5}{x}$，则f′（x₀）=$4{x}_{0}-\frac{5}{{x}_{0}}$=-1，解得x₀=1，∴切点为P（1，2）．
∴点P到直线y+x=0的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．