Question

14．如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（1）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥BC₁；
（2）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC₁⊥A₁C，AB⊥AC，AB⊥AA₁，由此能证明A₁C⊥BC₁．
（2）推导出点P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离，从而三棱锥P-BCC₁的体积$V={V}_{P-BC{C}_{1}}$=${V}_{A-BC{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABC}$，再利用导数能求出三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值．

解答 证明：（1）∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
又∵AA₁=AC，∴四边形AA₁C₁C是正方形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴A₁C⊥平面ABC₁，∴A₁C⊥BC₁．
解：（2）∵AA₁∥平面BB₁C₁C，
∴点P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离，
∴三棱锥P-BCC₁的体积：
$V={V}_{P-BC{C}_{1}}$=${V}_{A-BC{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{6}{t}^{2}（3-2t）$=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{3}{t}^{3}$（0＜t＜$\frac{3}{2}$），
∴V′=-t（t-1），令V′=0，得t=1或t=0（舍），
当t∈（0，1）时，V′＞0，函数V（t）是增函数，
当t∈（1，$\frac{3}{2}$）时，V′＜0，函数V（t）是减函数，
∴当t=1时，V_max=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查线线、线面、面面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等应用意识．