Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．
（Ⅰ）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，分a=0和a≠0求出a的范围；
（Ⅱ）由不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立求出a的范围，然后结合“p或q”为真得p与q至少一个为真，取并集得到实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）若命题p为真，即ax²-x+

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a＞0对任意x恒成立．
（ⅰ）当a=0时，-x＞0不恒成立，不合题意；
（ⅱ）当a≠0时，可得

a＞0 △=1- 1 4 a2＜0

，解得a＞2．
∴实数a的取值范围是（2，+∞）．
（Ⅱ）令y=3^x-9^x=-（3^x-

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2

）²+

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4

，则a＞y_max，
由x＞0，得3^x＞1，则y＜0．
若命题q为真，则a≥0．
由命题“p或q”为真，得p与q至少一个为真，
∴实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查了复合命题的真假判断与应用，考查了数学转化思想方法，考查了恒成立问题，是中档题．