Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=2a₁-2，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，由此能证明数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ，由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，得b_n-b_n+1+2=0，由此能求出b_n=2n-1．
（3）由c_n=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ，
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（3）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．