Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交集及其运算

专题：集合,简易逻辑

分析：求解二次不等式化简集合A．
（1）对a分类求解集合B，然后把x∈A是x∈B的充分条件转化为含有a的不等式组求解a的范围；
（2）由A∩B=∅，借助于集合A，B的端点值间的关系列不等式求解a的范围．

解答： 解：A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）当a=0时，B=∅，不合题意．
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，要满足题意，则

a≤2 3a≥4

，解得

4

3

≤a≤2．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，要满足题意，则

3a≤2 a≥4

，a∈∅．
综上，

4

3

≤a≤2；
（2）要满足A∩B=∅，当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，则a≥4或3a≤2，即0＜a≤

2

3

或a≥4；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，则a≤2或a≥

4

3

，即a＜0；
当a=0时，B=∅，A∩B=∅．
综上所述，a≤

2

3

或a≥4．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了必要条件、充要条件的判断与应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．