题目内容
已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+5m，在x=-1处有极值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x2+6mx+n，得方程组
，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），即可得出函数的单调区间．
|
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），即可得出函数的单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+6mx+n
∴
，
解得：m=-1，n=-9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴当-1＜x＜3时，f’（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞3 或 x＜-1 时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x=-1处有极值，
∴f（x）的减区间是（-1，3）；增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．
∴
|
解得：m=-1，n=-9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴当-1＜x＜3时，f’（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞3 或 x＜-1 时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x=-1处有极值，
∴f（x）的减区间是（-1，3）；增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．
点评：本题考察了函数的单调性，求函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．
练习册系列答案
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