Question

各项均为正数的数列{a_n}中，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且（2-S_n）（1+T_n）=2，n∈N^*．
（1）设b_n=2-S_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=

1

2

na_n，求集合{（m，k，r）|c_m+c_r=2c_k，m＜k＜r，m，k，r∈N^*}．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）根据数列的递推关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当n=1时，（2-S₁）（1+T₁）=2，
即(2-a1)(1+

1

a1

)=2，解得a₁=1．                   …2分
由（2-S_n）（1+T_n）=2，所以Tn=

2

2-Sn

-1①
当n≥2时，Tn-1=

2

2-Sn-1

-1②
①-②，得

1

an

=

2

2-Sn

-

2

2-Sn-1

=

2an

(2-Sn)(2-Sn-1)

（n≥2），…4分
即(2-Sn)(2-Sn-1)=2[(2-Sn-1)-(2-Sn)]2，
即bnbn-1=2(bn-1-bn)2，所以

bn

bn-1

+

bn-1

bn

=

5

2

，
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以数列{2-S_n}单调递减，所以

bn

bn-1

＜1．
所以

bn

bn-1

=

1

2

（n≥2）．
因为a₁=1，所以b₁=1≠0，
所以数列{b_n}是等比数列．                         …6分
（2）由（1）知2-Sn=(

1

2

)n-1，所以an=

1

2n-1

，即cn=

n

2n

．
由c_m+c_r=2c_k，得

cm

ck

+

cr

ck

=2（*）
又n≥2时，

cn+1

cn

=

n+1

2n

＜1，所以数列{c_n}从第2项开始依次递减．   …8分
（Ⅰ）当m≥2时，若k-m≥2，则

cm

ck

≥

cm

cm+2

=

m 2m

m+2 2m+2

=

4m

m+2

≥2，
（*）式不成立，所以k-m=1，即k=m+1．        …10分
令r=m+1+i（i∈N^*），则cr=

r

2m+1+i

=2ck-cm=

2(m+1)

2m+1

-

m

2m

=

2

2m+1

=

2i+1

2m+1+i

，
所以r=2ⁱ⁺¹，即存在满足题设的数组{（2ⁱ⁺¹-i-1，2ⁱ⁺¹-i，2ⁱ⁺¹）}（i∈N^*）．…13分
（Ⅱ）当m=1时，若k=2，则r不存在；若k=3，则r=4；
若k≥4时，

c1

ck

≥

c1

c4

=2，（*）式不成立．
综上所述，所求集合为{（1，3，4），（2ⁱ⁺¹-i-1，2ⁱ⁺¹-i，2ⁱ⁺¹）}（i∈N^*）． …16分．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的定义，考查学生的计算能力，难度较大．