题目内容
若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，则实数c的取值范围是 ．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：将不等式恒成立，进行参数分离，利用导数求出函数的最值即可．
解答：
解：若不等式bx+c+9lnx≤x2对任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，
则c≤x2-bx-9lnx恒成立即可，
设f（x）=x2-bx-9lnx，
则f′（x）=2x-b-
=
，
设g（x）=2x2-bx-9，如图
∵g（0）=-9＜0，判别式△=b2+72＞0，对称轴x=-
=
＞0，
所以由g（x）=0得x=
＜0（舍去）或x=
，
即当x=
时f（x）取得极小值，
∵b∈（0，3），
所以当b=3时，极小值点最小为x=
=
=3，
此时f（3）=32-3×3-9ln3=-9ln3，
故c＜-9ln3，
故答案为：（-∞，-9ln3）
则c≤x2-bx-9lnx恒成立即可，
设f（x）=x2-bx-9lnx，
则f′（x）=2x-b-
| 9 |
| x |
| 2x2-bx-9 |
| x |
设g（x）=2x2-bx-9，如图
∵g（0）=-9＜0，判别式△=b2+72＞0，对称轴x=-
| -b |
| 2×2 |
| b |
| 4 |
所以由g（x）=0得x=
b-
| ||
| 4 |
b+
| ||
| 4 |
即当x=
b+
| ||
| 4 |
∵b∈（0，3），
所以当b=3时，极小值点最小为x=
3+
| ||
| 4 |
| 3+9 |
| 4 |
此时f（3）=32-3×3-9ln3=-9ln3，
故c＜-9ln3，
故答案为：（-∞，-9ln3）
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合导数是解决本题的根据，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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若
（a∈R）是纯虚数，则|
|=（ ）
| a+i |
| 1-i |
| a+i |
| 1-i |
| A、i | ||
| B、1 | ||
C、
| ||
| D、2 |
已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合M={3，4，5}，N={1，2，3，4}，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）| A、{1，2} |
| B、{1，2，6} |
| C、{1，2，3，4，5} |
| D、{1，2，3，4，6} |