Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，

BA

•

BC

=8．
（1）求a²+c²的值；
（2）求函数f（B）=

3

sinBcosB+cos²B的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简

BA

•

BC

=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出a²+c²的值；
（2）由基本不等式求出ac的范围，根据accosB=8表示出cosB，由ac的范围求出cosB的范围，进而利用余弦函数性质求出B的范围，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．

解答： 解：（1）∵

BA

•

BC

=8，∴accosB=8，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-16，
∵b=4，
∴a²+c²=32；
（2）∵a²+c²≥2ac，
∴ac≤16，
∵accosB=8，
∴cosB=

8

ac

≥

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤

π

3

，
∵f（B）=

3

sinBcosB+cos²B=

3

2

sin2B+

1

2

（1+cos2B）=sin（2B+

π

6

）+

1

2

，
∵

π

6

＜2B+

π

6

≤

5π

6

，
∴sin（2B+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
则f（B）的值域为[1，

3

2

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．