Question

已知曲线C的方程为（1-2k）x²+y²-1=0，下列四个命题中正确命题的个数为

 

．
①当k＞

1

2

时，C是双曲线；
②当k＜

1

2

时，C是椭圆；
③当k=

1

2

时，C是抛物线；
④C不可能是两条直线．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：线C的方程为（1-2k）x²+y²-1=0，可化为：

x2

1 1-2k

+y²=1，根据椭圆，圆和双曲线的标准方程可得：当k＞

1

2

时，C是双曲线；k＜

1

2

且k≠0时，C是椭圆，当k=

1

2

时，C是两条直线；当k=0时，C是圆；进而可得答案．

解答： 解：曲线C的方程为（1-2k）x²+y²-1=0，可化为：

x2

1 1-2k

+y²=1，
对于①，当k＞

1

2

时，

1

1-2k

＜0，C是焦点在y轴上的双曲线，故正确；
对于②，当k＜

1

2

且k≠0时，C是椭圆，故错误；
对于③，当k=

1

2

时，y²-1=0，表示两条与x轴平行的直线，故错误；
对于④，由③得，当k=

1

2

时，y²-1=0，表示两条与x轴平行的直线，故错误；
故正确命题的个数为1个，
故答案为：1

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了椭圆与双曲线的标准方程，难度不大，属于基础题．