Question

已知点M是抛物线y²=x上一动点，以OM为一边（O为原点）作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意画出图形，设出抛物线上任一点M（m²，m），（m为任意实数），求得P点的坐标相应为（m，-m²），即得到P的横纵坐标所满足的函数关系，同理得到MNPO逆时针时的P的轨迹方程．

解答： 解：如图，
作PP₁、MM₁垂直于y轴，则三角形OPP₁、OMM₁全等，
∴对任一点M（m²，m），（m为任意实数），
P点的坐标相应为（m，-m²），
故P点横、纵坐标满足关系 y=-x²，
这就是动点P的轨迹方程；
当所求正方形与上图关于OM对称时，
此时动点P的轨迹方程为 y=x²．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．