Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点E，连接NE，ME，可证NE∥PD，EM∥DA，从而面NEM∥面PDA，即可证明MN∥平面PAD；
（2）先证明MN⊥CD，由PM=MC，M、N分别是AB、PC的中点，可证MN⊥PC，CD∩PC=C，从而得证．

解答：
证明：（1）取CD的中点E，连接NE，ME，
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，EM∥DA，
∴面NEM∥面PDA，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∵EN∥PD
∴EN⊥CD
又∵CD⊥EM，EM∩EN=E
∴CD⊥平面ENM
∴MN⊥CD
∵PM=

PA2+AM2

=

a2+( 1 2 AB)2

=

BC2+MB2

=MC，M、N分别是AB、PC的中点，
∴MN⊥PC，CD∩PC=C
∴MN⊥平面PCD．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．