Question

17．设函数f（x）=log₂（2x）•log₂$\frac{x}{16}$．
（1）解方程f（x）+6=0；
（2）设不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤4^3x-2的解集为M，求函数f（x）（x∈M）的值域．

Answer 1

分析 （1）化简解关于log₂x的方程；
（2）先解出不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤4^3x-2的解集为M，再求函数f（x）的值域即可．

解答 解：（1）f（x）+6=0，即（1+log₂x）（log₂x-4）+6=0，
∴${（{log_2}x）^2}-3{log_2}x+2=0$，
∴log₂x=1或log₂x=2，
解得x=2或x=4，
∴原方程的解集为{x|x=2或x=4}…（4分）
（2）不等式${2^{{x^2}+x}}≤{4^{3x-2}}$解得M={x|1≤x≤4}…（6分）
$f（x）={log_2}（2x）{log_2}\frac{x}{16}=（{log_2}x+1）（{log_2}x-4）={（{log_2}x）^2}-3{log_2}x-4$
令log₂x=t（1≤x≤4），则0≤t≤2，所以$-\frac{25}{4}≤f（x）≤-4$
所以函数$f（x）={log_2}（2x）{log_2}\frac{x}{16}（x∈M）$的值域$[{-\frac{25}{4}，-4}]$．…（10分）

点评 本题主要与对数和指数有关的方程，对数函数的值域，属于中等题．