Question

7．已知函数f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[${\sqrt{2}$，e]上有两个不等实数根，求实数a的取值范围．
（可能用到的参考数据：ln2≈0.7，$\frac{1}{e^2}$≈0.135）．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解等价于 a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解，令h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）F（x）=ax²-2lnx  （x＞0）所以 F′（x）=$\frac{2（{ax}^{2}-1）}{x}$（x＞0）
所以当a＞0时，函数在（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$）上是减函数，在 （$\frac{1}{\sqrt{a}}$，+∞）上是增函数，
a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解，
等价于 a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解
令h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，则 h′（x）=$\frac{2x（1-2lnx）}{{x}^{4}}$，
故函数h（x）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{e}$）上是增函数，在 （$\sqrt{e}$，e）上是减函数．
所以 h（x）_max=h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，
又因为h（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＜h（2）=$\frac{ln2}{2}$=h （$\sqrt{2}$）   
故  h（x）_min=h （e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
所以$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
即a的取值范围：$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

点评 本小题主要考查函数的导数，单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．