Question

9．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率$\frac{1}{2}$，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为8，椭圆E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知结合椭圆定义可得4a=8，即a=2，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：由△ABF₂的周长为8，可得4a=8，即a=2，又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的定义，是基础题．