Question

6．若实数m的取值使函数f（x）在定义域上有两个极值点，则叫做函数f（x）具有“凹凸趋向性”，已知f′（x）是函数f（x）的导数，且f′（x）=$\frac{m}{x}$-2lnx，当函数f（x）具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{2}{e}$，+∞）
• B． （-$\frac{2}{e}$，0）
• C． （-∞，-$\frac{2}{e}$）
• D． （-$\frac{2}{e}$，-$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 问题转化为m=2xlnx在（0，+∞）有2个不同的实数根，令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$-2lnx=$\frac{m-2xlnx}{x}$，（x＞0），
若函数f（x）具有“凹凸趋向性”时，
则m=2xlnx在（0，+∞）有2个不同的实数根，
令g（x）=2xlnx，g′（x）=2（1+lnx），
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
故g（x）的最小值是g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，x→0时，g（x）→0，
故-$\frac{2}{e}$＜m＜0，
故选：B．

点评 不同考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．