题目内容

某班有12名男生和18名女生参加综合素质测试，所得分数的茎叶图如图，若成绩在75分以上（包括75分）定义为“优秀”，成绩在75分以下（不包括75分）定义为“非优秀”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“非优秀”中共抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“优秀”中选3人参加综合素质展示活动，用ξ表示所选学生中女生的人数，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）根据茎叶图，有“优秀”12人，“非优秀”18人．用分层抽样的方法，选中的“优秀”有2人，“非优秀”有3人．由此能求出至少有一人是“优秀”的概率．
（Ⅱ）依题意，ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“优秀”12人，“非优秀”18人．
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
5
30
=
1
6
，
所以选中的“优秀”有12×
1
6
=2人，“非优秀”有18×
1
6
=3人．
用事件A表示“至少有一名“优秀”被选中”，
则它的对立事件
.
A
表示“没有一名“优秀”被选中”，
则P（A）=1-
C
2
3
C
2
5
=1-
3
10
=
7
10
．
因此，至少有一人是“优秀”的概率是
7
10
．
（另解：P(A)=
C
1
2
C
1
3
+
C
2
2
C
2
5
=
7
10
） …（6分）
（Ⅱ）依题意，ξ的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
C
3
8
C
3
12
=
14
55
，P（ξ=1）=
C
1
4
C
2
8
C
3
12
=
28
55
，
P（ξ=2）=
C
2
4
C
1
8
C
3
12
=
12
55
，P（ξ=3）=
C
3
4
C
3
12
=
1
55
．
因此，ξ的分布列如下：
ξ0123
P
14
55
28
55
12
55
1
55
∴Eξ=0×
14
55
+1×
28
55
+2×
12
55
+3×
1
55
=1．…（12分）
点评：本题考查概率的求法，考查注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
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命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（　　）
A、若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0
B、若x2+y2=0，则x，y都不为0
C、若x2+y2≠0，则x，y都不为0
D、若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0
若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x都成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=sinπx，g（x）=x2是否为阶数为1的回旋函数，并说明理由；
（Ⅱ）证明：函数h（x）=2x是回旋函数；
（Ⅲ）证明：若函数f（x）是一个阶数为a（a＞0）的回旋函数，则函数f（x）在[0，2014a]上至少存在2014个零点．
已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16
（1）求数列前n项和Sn的最大值及相应的n；
（2）求|a1|+|a3|+|a5|+…+|a19|的值．
若集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞a}，求A∩B．
已知集合A={1，x，y}，B{1，2x，x2}，是否存在实数x和y，使得A=B．若存在，求出x与y的值；若不存在，请说明理由．
已知O为坐标原点，向量
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且
AB
=
BP
．
（Ⅰ）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；
（Ⅱ）记函数f（α）=
BP
•
CA
，α∈（-
π
8
，
π
2
），试求函数f（α）的值域．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S9=99．
（1）求an及Sn；
（2）若数列{bn}满足bn=
4
an2-1
，n∈N*，证明数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＜1．
已知椭圆C的参数方程为
x=
3
2
cosθ
y=
1
2
sinθ
（θ为参数），直线L的参数方程为
x=1+t
y=1-t
（t为参数）
（1）求椭圆C的焦点坐标；
（2）若参数θ∈[
π
2
，
2π
3
]，试求椭圆C上的点到直线L的距离的最大值和最小值．

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