Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₉=99．
（1）求a_n及S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

4

an2-1

，n∈N^*，证明数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知利用等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出

a1+d=5 9(2a1+8d) 2 =99

，由此能求出a_n及S_n．
（2）b_n=

4

an2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能证明T_n＜1．

解答： （1）解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₉=99，
∴

a1+d=5 9(2a1+8d) 2 =99

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1，
Sn=n2+2n，n∈N*．
（2）证明：b_n=

4

an2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
∴T_n＜1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．