Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，将y=kx代入椭圆的方程x2+

y2

4

=1，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．

解答： 解：（1）由题意知：e=

c

a

=

3

2

∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²．…（2分）
又∵圆x²+y²=b²与直线x-y+

2

=0相切，∴b=1，∴a²=4，…（3分）
故所求椭圆C的方程为x2+

y2

4

=1…（4分）
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
将y=kx代入椭圆的方程x2+

y2

4

=1整理得：（k²+4）x²=4，
故x2=-x1=

2

k2+4

．①…（5分）
又点E，F到直线AB的距离分别为h1=

|2x1+kx1-2|

5

=

2(2+k+ k2+4 )

5(k2+4)

，h2=

|2x2+kx2-2|

5

=

2(2+k- k2+4 )

5(k2+4)

．|AB|=

22+1

=

5

…（7分）
所以四边形AEBF的面积为S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

5

•

4(2+k)

5(k2+4)

=

2(2+k)

k2+4

…（9分）
=2

4+k2+4k k2+4

=2

1+ 4k k2+4

=2

1+ 4 k+ 4 k

≤2

2

，…（11分）
当k²=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．
所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．