Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，B₁C₁∥BC，B₁C₁=

1

2

BC．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面A₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角C-A₁C₁-B的余弦值的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC中点E，连结AE，C₁E，B₁E，由已知得四边形CEB₁C₁是平行四边形，AEC₁A₁是平行四边形，由此能证明AB₁∥面A₁C₁C．
（Ⅱ）由已知得A₁A=AB=AC=1，A₁A⊥AB，A₁A⊥AC，从而A₁A⊥面ABC，以A为原点，以AC为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C-A₁C₁-B的余弦值的大小．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点E，连结AE，C₁E，B₁E，
∵B₁C₁∥BC，B1C1=

1

2

BC，
∴B1C1

∥

.

EC，
∴四边形CEB₁C₁是平行四边形，∴B₁E∥C₁C，B₁E=C₁C，
∵C₁C?面A₁C₁C，B₁E不包含于平面A₁C₁C，
∴B₁E∥面A₁C₁C，
又ABB₁A₁是正方形，∴A₁A

∥

.

C₁E，
∴AEC₁A₁是平行四边形，∴AE∥A₁C₁
∵A₁C₁?面A₁C₁C，AE?面A₁C₁C，
∴AE∥面A₁C₁C，∵AE∩B₁E=E，
∴面B₁AE∥面A₁C₁C，
∵AB₁?面B₁AE，∴AB₁∥面A₁C₁C．
（Ⅱ）∵四边形ABB₁A₁为正方形，
∴A₁A=AB=AC=1，A₁A⊥AB，
∴A1B=

2

，∵A₁C=A₁B，∴A1C=

2

，
由勾股定理可得：∠A₁AC=90°，∴A₁A⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴A₁A⊥面ABC，
∵A₁C=A₁B=BC，∴BC=

2

，
由勾股定理，得∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，
故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，
C（1，0，0），A₁（0，0，1），C1(

1

2

，

1

2

，1)，B（0，1，0），
∴

CA1

=（-1，0，1），

CC1

=（-1，0，1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（

1

2

，-

1

2

，1），
设面A₁C₁C的法向量为

n1

=（x，y，z），
由

n1

•

CA1

=0，

n1

•

CC1

=0，
∴

-x+z=0 - 1 2 x+ 1 2 y+z=0

，
令z=1，则

n1

=（1，-1，1），
设面A₁C₁B的法向量为

n2

=(m，n，k)，
则

n2

•

BA1

=0，

n2

•

BC1

=0
则

-n+k=0 1 2 m- 1 2 n+k=0

，
令k=1，则

n2

=(-1，1，1)…（10分）
所以cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

-1-1+1

3 × 3

=-

1

3

，
设二面角C-A₁C₁-B的平面角为α，?

n1

，

n2

＞=θ，
所以cosα=cos(π-θ)=

1

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．