Question

16．若存在实数x，使f（x）=x，则称x为f（x）的不动点．已知f（x）=$\frac{2x+a}{x+b}$有两个关于原点对称的不动点．
（1）求a，b须满足的充要条件；
（2）试用y=f（x）和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）．

Answer 1

分析 （1）已知条件列出方程，由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，即可得出．
（2）利用函数的对称中心画出两个函数的草图，可得不动点的位置．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{2x+a}{x+b}$=x，
整理得 x²+（b-2）x-a=0（*），
由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}b-2=0\\-a＜0\end{array}\right.$，即b=2，a＞0，
∵f（x）=2+$\frac{a-4}{x+2}$，∴a≠4，
故a，b应满足b=2，a＞0且a≠4．
（2）y=f（x）=2+$\frac{a-4}{x+2}$和y=x的图形为：

两个不动点的位置为：A，A′．

点评 本题考查了新定义“不动点”的性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．