Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：无论m为何值，直线l恒过定点（3，1）；
（2）当m为何值时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是多少？

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．

解答： （1）证明：将l的方程整理为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y-4=0 2x+y-7=0

，解得

x=3 y=1

，
则无论m为何值，直线l过定点D（3，1）．
（2）解：因为（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．
圆心C（1，2），半径为5，|CD|=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

，
当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于k_CD=

2-1

1-3

=-

1

2

，
则l的斜率为2，即有-

2m+1

m+1

=2，解得m=-

3

4

．
此时最短弦长为2

52-5

=4

5

，
故当m=-

3

4

时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是4

5

．

点评：本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．