Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n，n=1、2、3…求：
（1）a₂，a₃，a₄的值．
（2）数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由递推公式赋值即可求得；
（2）利用公式可以证明数列a_n}从第二项起是首项为

1

3

，公比为

4

3

的等比数列，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n，
∴a₂=

1

3

，a₃=

1

3

（a₁+a₂）=

1

3

（1+

1

3

）=

4

9

，a₄=

1

3

（a₁+a₂+a₃）=

1

3

（1+

1

3

+

4

9

）=

16

27

，
（2）a_n+1=

1

3

S_n，①
n≥2时，a_n=

1

3

s_n-1，②
由①-②得，a_n+1=

4

3

a_n，
又a₁=1，a₂=

1

3

，

a2

a1

=

1

3

≠

4

3

，
∴数列{a_n}从第二项起是首项为

1

3

，公比为

4

3

的等比数列，
∴a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2=

22n-4

3n-1

（n≥2），
∴a_n=

1 n=1 22n-4 3n-1 n≥2

．

点评：本题主要考查利用递推公式求数列的前几项及利用公式求数列的通项公式，属于基础题．