Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n的等差中项为1．
（Ⅰ） 写出a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （I）依次把n=1，2，3代入S_n+a_n=2计算即可；
（II）先验证n=1，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1成立即可．

解答 解：（I）由题意S_n+a_n=2，
∴a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{4}$．
（II）猜想：a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=1，$\frac{1}{{2}^{1-1}}$=$\frac{1}{{2}^{0}}$=1，猜想成立．
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=$\frac{1}{{2}^{k-1}}$，
则当n=k+1时，由S_k+1+a_k+1=2，S_k+a_k=2，
得（S_k+1-S_k）+a_k+1-a_k=0，
即2a_k+1=a_k，
∴a_k+1=$\frac{1}{2}$a_k=$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴当n=k+1时，猜想也成立，
∴对于任意n∈N₊，a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．