Question

14．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0恒成立，且当x＞0时，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，则当x＜0时，f（x）=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• B． -$\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• C． $\frac{2}{3}$sin2x-cosx
• D． -$\frac{2}{3}$sin2x-cosx

Answer 1

分析 由题意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函数．当x＞0时，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，当x＜0时，那么-x＞0，可得f（x）的解析式．

解答 解：由题意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函数．即-f（x）=f（-x）；
当x＞0时，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
当x＜0时，则-x＞0，那么，f（-x）=$\frac{2}{3}$sin（-2x）+cos（-x）=-$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
∵-f（x）=f（-x）；
∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x-cosx，
故选C．

点评 本题考查了解析式的求法，利用了函数的奇函数的性质求解！属于基础题．