Question

9．已知函数$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$，证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 证法一：令0≤x₁＜x₂≤2，作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义可得：函数$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$为增函数；
证法一：求导，根据当x∈[0，2]时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$为增函数；
进而可得函数的最值．

解答 证法一：令0≤x₁＜x₂≤2，
则x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=$-\frac{2}{{x}_{1}+1}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{2（x}_{1}-{x}_{2}）}{{{（x}_{1}+1）（x}_{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$为增函数；
证法二：∵$f（x）=-\frac{2}{x+1}$，
∴$f′（x）=\frac{2}{（x+1）^{2}}$
当x∈[0，2]时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数$f（x）=-\frac{2}{x+1}，x∈[0，2]$为增函数；
故当x=2时，函数取最大值-$\frac{2}{3}$；
当x=0时，函数取最小值-2；

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的最值及其几何意义，难度中档．