Question

设函数f（x）=

xlnx，x≥1 lnx x ，0＜x＜1

，若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₃a₄a₅=1，若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=2a₁，则a₁=

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,等比数列的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由题意可得f（x）+f（

1

x

）=0；故f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₂）+f（a₆）+f（a₃）+f（a₅）+f（a₄）=0，从而化f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₁）=2a₁，从而解得．

解答： 解：若x＞1，则0＜

1

x

＜1；
则f（x）=xlnx，f（

1

x

）=

ln 1 x

1 x

=-xlnx；
故f（x）+f（

1

x

）=0；
又∵{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₃a₄a₅=1，
∴a₄=1；
故a₆a₂=a₃a₅=a₄=1；
故f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₂）+f（a₆）+f（a₃）+f（a₅）+f（a₄）=0+0+0=0；
故f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₁）=2a₁，
若a₁＞1，则a₁lna₁=2a₁，则a₁=e²；
若0＜a₁＜1，则

lna1

a1

＜0，故无解；
故答案为：e²．

点评：本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用，属于中档题．