Question

已知等比数列{b_n}的公比为3，数列{a_n}满足b_n=3 an，n∈N^*，且a₁=1．
（1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明；
（2）若C_n=

1

anan+1

，T_n是数列{C_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

30

对所有n∈N^*都成立的最小m．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．b_n=3an=3ⁿ，从而a_n=n，由此得到{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法有求出使得T_n＜

m

30

对所有n∈N^*都成立的最小m值为30．

解答： 解：（1）{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
证明如下：
等比数列{b_n}的公比为3，数列{a_n}满足b_n=3 an，n∈N^*，且a₁=1．
∴b1=3a1=3，
b2=3a2=32，∴a₂=2，
b_n=3an=3ⁿ，∴a_n=n，
∴a_n+1-a_n=n+1-n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）∵c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∵T_n＜

m

30

对所有n∈N^*都成立，
∴

m

30

≥1，解得m≥30．
∴使得T_n＜

m

30

对所有n∈N^*都成立的最小m值为30．

点评：本题考查数列是等差数列还是等比数列的判断与证明，考查满足条件的实数值的最小值的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．