Question

已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的极值；
（Ⅲ）讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f′（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；
（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；
（Ⅲ）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，则f′(x)=1+

1

x

，---（1分）
所以f′（1）=2，且f（1）=1，------------------------（3分）
所以切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0-------------------（5分）
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），由（1）得f′(x)=1+

1

x

=

x+1

x

，-----（6分）
∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立-----（8分）
∴f（x）在（0，∞）上单调递增，没有极值---------（9分）
（Ⅲ）由题意得，f′(x)=1+

a

x

=

x+a

x

（x＞0）-----------------------------（10分）
当a≥0时，在（0，∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间是f′（x）＞0；-----（11分）
当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

x	（0，a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

------------------------------------（13分）
综上，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（-a，+∞），减区间是（0，a）．-------（14分）

点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简．