Question

设椭圆方程为x²+

y2

4

=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理以及

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，推出4x²+y²-y=0，②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程，求出轨迹方程．

解答： （本小题满分12分）
解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

4x2+y2-4=0 y=kx+1

 得：（4+k²）x²+2kx-3=0，…（4分）
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，y₁+y₂=

8

4+k2

，…（6分）
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)  得：（x，y）=

1

2

（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：

x= x1+x2 2 =- k 4+k2 y= y1+y2 2 = 4 4+k2

…（8分）
消去k得：4x²+y²-y=0 …（10分）
②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x²+y²-y=0．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，注意直线的斜率是否存在两种情况．