Question

已知函数f（x）=|x²-2x-3|，当方程f²（x）+mf（x）=0有六个不同的实数解时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）表示出方程的解析式，显然x=3和x=-1是其中两解，只需x²-2x-3+m=0和x²-2x-3-m=0分别有两解共6个解，解得即可．

解答： 解：∵f（x）=|x²-2x-3|=|（x-3）（x+1）|，
∴f²（x）+mf（x）=（x-3）²（x+1）²+m|（x-3）（x+1）|=0，
当x＞3或x＜-1时，方程为：
（x-3）²（x+1）²+m（x-3）（x+1）=0，
整理得：（x-3）（x+1）（x²-2x-3+m）=0，①
当-1≤x≤3时，方程为：
（x-3）²（x+1）²-m（x-3）（x+1）=0，
整理得：（x-3）（x+1）（x²-2x-3-m）=0，②
∵方程f²（x）+mf（x）=0有六个不同的实数解，
由①②得：x=3，x=-1是两个解，
只需x²-2x-3+m=0有两解，x²-2x-3-m=0有两解即可，
∴

4-4(-3+m)＞0 4-4(-3-m)＞0

，
解得：-4＜m＜4．

点评：本题考察了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式问题，是一道中档题．