Question

14．$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥4}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域被直线y=kx+2分成的两部分的面积比为1：1，求k．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，解出点C、D的坐标，根据三角形面积之间的关系，得到方程，解出k的值即可．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥4}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的平面区域为三角形ABC，如图示：
，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．故点C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{k+2}}\\{y=\frac{4k+4}{k+2}}\end{array}\right.$，故点D（$\frac{2}{k+2}$，$\frac{4k+4}{k+2}$）
所以S_△ABD=$\frac{1}{2}$×|AB|•x_D=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{k+2}$=$\frac{2}{k+2}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×|AB|•x_C=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．
又因为平面区域被直线y=kx+2 分为面积相等的两部分
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC  即 $\frac{2}{k+2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$，解得k=1．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．