Question

3．已知△ABC的周长为1，且sin2A+sin2B=4sinA•sinB，则△ABC的面积的最大值为$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 判断三角形ABC只能是C为直角的直角三角形，再求△ABC的面积的最大值．

解答 解：∵sin2A+sin2B=4sinAsinB
∴2sinAcosA+2sinBcosB=4sinAsinB，
即：sinAcosA+sinBcosB=2sinAsinB，
∴sinA（cosA-sinB）=sinB（sinA-cosB）
∵sinA，sinB为正，
∴cosA-sinB与sinA-cosB同号，或都为0（*）
（1）C是钝角，则A+B＜90°，∴A＜90°-B，
∴sinA＜sin（90°-B）=cosB，cosA＞cos（90°-B）=sinB，
∴（*）不成立
（2）C是锐角，则A+B＞90°，∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，cosA＜cos（90°-B）=sinB，
∴（*）不成立，
∴三角形ABC只能是C为直角的直角三角形．
∵△ABC的周长为1，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=1，
∴1≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴ab≤$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$
∴面积的最大值为$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$），
故答案为：$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查三角形形状的判断，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．