Question

已知抛物线的顶点在原点，以y轴为对称轴，其上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得抛物线开口向上，设其方程为：x²=2py，抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，最短距离就是切线到l的距离，设m的方程为3x+4y+q=0，令m和l的距离

|q-(-12)||

32+42

=1，由此能求出抛物线方程．

解答： 解：直线l：3x+4y-12=0的斜率k=-

3

4

，y轴上的截距-3，
抛物线如果开口向下，与直线l会相交，最短距离不会等于1，
所以抛物线开口向上，设其方程为：x²=2py，
抛物线上到直线l距离最短的点，是平行于l的抛物线的切线m的切点，
最短距离就是切线到l的距离．

设m的方程为3x+4y+q=0，令m和l的距离

|q-(-12)||

32+42

=1，
解得q=-7或q=-17，q=-17在l下方，舍去．
所以m：3x+4y-7=0．
3x+4y-7=0，x²=2py联立，代入得2x²+3px-7p=0，
只有一个公共点，△=9p²+56p=p（9p+56）=0，得P=-

56

9

所以抛物线C的方程：x²=2（-

56

9

）y，即 9x²+112y=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．