Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，若过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，则切线方程是（　　）

• A、9x+y-16=0
• B、9x-y+16=0
• C、x+9y-16=0
• D、x-9y+16=0

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，再判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x₀，y₀），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．

解答： 解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依
题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
∵曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
因f'（x₀）=3（x₀²-1），
故切线的方程为y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到点A（0，16）在切线上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀）
化简得x₀³=-8，
解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

点评：本题主要考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同．