Question

已知函数f（x）=e^ax-x，其中a≠0，函数f（x）的导函数是f′（x）．
（I）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使函数g（x）=|

ln[f′(x)+1]-lna-a2

ln[f′(x)+1]-lna+2a2

|在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（I）可判断a＜0时不等式不成立，从而得知a＞0，则问题转化为f（x）_min≥1，利用导数可求得f（x）_min=

1

a

-

1

a

ln

1

a

，进而通过构造函数利用导数可解不等式；
（Ⅱ）要存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲线y=g（x）在（x₁，g（x₁），（x₂，g（x₂））两点处的切线互相垂直，须g′（x₁）•g（′（x₂）=-1，根据导数的符号可判断，有a＞4，且x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），而g′（x₁）•g′（x₂）=-1⇒x1+2a=

3a

x2+2a

①，由x₁+2a∈（2a，3a），

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)知，问题等价于集合A={x|2a＜x＜3a}与集合B={x|

3a

4+2a

＜x＜1}的交集非空，借助数轴可得不等式；

解答： 解：（I）若a＜0则对一切x＞0，f（x）=e^ax-x＜1这与题设矛盾；
又a≠0，故a＞0，
f′（x）=ae^ax-1，f′（x）=0⇒x=

1

a

ln

1

a

，
当x＜

1

a

ln

1

a

，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞

1

a

ln

1

a

，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故当x=

1

a

ln

1

a

时，f（x）_min=f（

1

a

ln

1

a

）=

1

a

-

1

a

ln

1

a

，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1①，
令g（t）=t-tlnt，g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，
∴当t=1时，g（t）_max=g（1）=1，
当且仅当

1

a

=1⇒a=1时，（1）式成立，
∴a的取值集合是{1}．
（Ⅱ）g（x）=|

x-a

x+2a

|，
当x∈（0，a），g（x）=

-x+a

x+2a

，g′（x）=

-3a

(x+2a)2

＜0，g（x）递减，
当x∈（a，+∞），g（x）=

x-a

x+2a

，g′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，g（x）递增，
若a＞4，g（x）在（0，4）上递减，故不满足要求；
当a＜4，g（x）在（0，a）上递减，在（a，4）上递增，
若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲线y=g（x）在（x₁，g（x₁），（x₂，g（x₂））两点处的切线互相垂直，
则x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
且g′（x₁）•g（′（x₂）=-1⇒

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1⇒x1+2a=

3a

x2+2a

①，
由x₁∈（0，a）⇒x₁+2a∈（2a，3a），x₂∈（a，4）⇒

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)，
故①式成立，等价于集合A={x|2a＜x＜3a}与集合B={x|

3a

4+2a

＜x＜1}的交集非空，
又

3a

4+2a

＜3a，当且仅当0＜2a＜1即0＜a＜

1

2

时，A∩B≠∅，
所以a的取值范围是（0，

1

2

）．

点评：该题考查导数的运算、几何意义以及利用导数研究函数的最值、函数恒成立等知识，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．