Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求S²的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）以AB的中点O为原点，建立直角坐标系O-xyz，点C的纵坐标y满足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，由此能求出面积S以x为自变量的函数式及其定义域．
（2）设f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，则f′（x）=S（x+r）²（r-2x），令f′（x）=0，得x=

1

2

y，由此能求出x=

1

2

r时，S²取得最大值

27

4

r4．

解答： 解：（1）依题意，以AB的中点O为原点，建立直角坐标系O-xyz，如图
则点C的横坐标为x，点C的纵坐标y满足方程

x2

r2

+

x2

4r2

=1，y≥0，
解得y=2

r2-x2

，（0＜x＜r）．
∴S=

1

2

(2x+2r)•2

r2-x2

=2（x+r）•

r2-x2

，其定义域为{x|0＜x＜r}．
（2）设f（x）=4（x+r）²（r²-x²），0＜x＜r，
则f′（x）=S（x+r）²（r-2x），
令f′（x）=0，得x=

1

2

y，
∵当0＜x＜

r

2

时，f′（x）＞0；当

r

2

＜x＜r时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，

r

2

）上是递增函数，在（

r

2

，r）上是递减函数，
∴f（

1

2

r）是f（x）的最大值，
∴当x=

1

2

r时，S²也取得最大值，最大值是

27

4

r4．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．