Question

某个公园有个池塘，其形状为直角三角形ABC，∠C=90°，AB=100米，BC=50米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，并且，EF∥AB，EF⊥ED（如图1），游客要在△DEF内喂鱼，希望△DEF面积越大越好．设EF=x（米），用x表示△DEF面积S，并求出S的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，建造正△DEF走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望△DEF周长越小越好．设∠FEC=α，用α表示△DEF的周长L，并求出L的最小值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）通过三角形ABC，求出A，设EF=x，0＜x＜100，求出CE，BE，表示出三角形的面积，利用二次函数求出最值．
（2）设边长为a，∠FEC=α，α∈(0，

π

2

)，利用正弦定理求出a的表达式，求出a的最小值，L的最小值．

解答： 解：（1）直角三角形ABC，∠C=90°，AB=100米，BC=50米
∴sinA=

BC

AB

=

1

2

．
A=30°，
∵EF∥AB，EF⊥ED∴∠CFE=30°，
设EF=x，0＜x＜100，∴CE=

x

2

，∴BE=50-

x

2

，
∵EF⊥ED，∴EF⊥AB，∴DE=

3

2

(50-

x

2

)，
∴S△ABC=

1

2

EF•ED=

3

8

x(100-x)，
当x=50时，SMAX=

625

2

3

；
（2）设边长为a，∠FEC=α，α∈(0，

π

2

)，
∴CE=acosα，EB=50-acosα，∠EDB=α，
在三角形DEB中，

a

sin π 3

=

50-acosα

sinα

，
∴a=

25 3

sinα+ 3 2 cosα

=

25 3

7 2 sin(α+θ)

=

50 21

7sin(α+θ)

≥

50 21

7

．
∴a的最小值为

50 21

7

，
L的最小值是

150 21

7

．

点评：本题考查三角形的面积的求法，三角函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．