Question

（1）己知a，b，c都是正数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
（2）求函数f（x）=x+

4

x-2

（x＞2）的最小值．

Answer 1

考点：不等式的证明,基本不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用分析法，从结果入手，再利用配方法，即可证得结论；
（2）令t=x-2，则t＞0，y=t+

4

t

+2，然后利用基本不等式可求出函数f（x）的最小值，注意等号成立的条件．

解答： （1）证明：要证a²+b²+c²≥ab+bc+ca，只需证2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）
即证（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
因为a，b，c都是正数，所以（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（a-c）²≥0，
所以（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0显然成立，
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
（2）解：令t=x-2，则t＞0，y=t+

4

t

+2≥2

t• 4 t

+2=6，
当且仅当t=

4

t

，即t=2，x=4时，函数f（x）=x+

4

x-2

（x＞2）的最小值为6．

点评：本题考查不等式的证明，考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析法的运用，正确运用分析法是解题的关键．