Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P，Q，R分别是棱BC，CD，DD₁的中点．下列命题：
①过A₁C₁且与CD₁平行的平面有且只有一个；
②平面PQR截正方体所得截面图形是等腰梯形；
③AC₁与QR所成的角为60°；
④线段EF与GH分别在棱A₁B₁和CC₁上运动，且EF+GH=1，则三棱锥E-FGH体积的最大值是

1

12

；
⑤线段MN是该正方体内切球的一条直径，点O在正方体表面上运动，则

OM

•

ON

的取值范围是[0，2]．
其中真命题的序号是

 

 （写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①转化为A₁B，A₁C₁相交，确定一个平面处理，②可利用补形法，在右侧补充一个正方体，延长或平移，可得截面，③利用三垂线定理可证两线垂直，④利用转化法求解相应体积，可得V_{三棱锥E-FGH}=V_{三棱锥G-EFC1}-V_{三棱锥H-EFC1}，⑤建立空间直角坐标系，利用向量求解．

解答： 解：①CD₁∥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁，则过A₁B，A₁C₁有且只有一个平面，所以过A₁C₁且与CD₁平行的平面有且只有一个，①正确，
②做RM平行PQ，交BB1于M；做PN平行于QR，交A₁D₁于NPQRMN这五点所构成的五边形即为截面，②错误；
③连结AC₁，DC₁，则，DC_1^为AC₁在平面DC₁，内的射影，DC₁⊥RQ，由三垂线定理可知AC₁⊥QR，所成的角为90°，③错误；
④设G在H上方，则V_{三棱锥E-FGH}=V_{三棱锥G-EFC1}-V_{三棱锥H-EFC1}=

1

3

×EF×GC₁-

1

3

×EF×HC₁=

1

3

×EF×GH，而EF+GH=1，则EF×GH的最大值=

1

4

，④正确；
⑤以D₁为坐标原点，以D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则

OM

•

ON

=（

OS

+

SM

）•（

OS

+

SN

）=（

OS

+

SM

）•（

OS

-

SM

）=

OS

²-1∈[0，2]，⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本题以正方体为载体，综合考查线面、面面位置关系，考查线面角、面面角，解题时需要一一进行验证，很容易出错．