Question

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0，且a≠1．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并判断其奇偶性；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元法：令t=log_ax，则x=a^t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况对函数的单调性进行讨论，
当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，等价于f（x）-4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，利用函数的单调性可作出判断；

解答： 解：（1）令log_a^x=t则x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
∵f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）当a＞1时，a^-x递减，-a^-x递增，a^x递增，所以a^x-a^-x递增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，a^-x递增，-a^-x递减，且a^x递减，所以a^x-a^-x递减，
又

a

a2-1

＜0，故此时f（x）递增；
综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．
当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，等价于f（x）-4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，
因为y=f（x）在（-∞，2）上单调递增，f（x）＜f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a2+1

a

，
所以

a2+1

a

≤4，
∴2-

3

≤a≤2+

3

又a＞0，a≠1，故a∈[2-

3

，1)∪(1，2+

3

]

点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性求函数在某区间上的最值，属于中档题．