Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α是以Ox轴为始边，OA为终边的角，把OA绕点O逆时针旋转β（0＜β＜π）角到OB位置，已知A、B是单位圆上分别位于第一、二象限内的点，它们的横坐标分别为$\frac{3}{5}$、-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求$\frac{1+sin2α}{cos2α}$的值；
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出A、B的坐标，由三角函数的定义求得sinα、cosα的值，利用倍角公式化简$\frac{1+sin2α}{cos2α}$后求值；
（2）由三角函数的定义求出sin（α+β）与cos（α+β）的值，再由cosβ═cos[（α+β）-α]展开两角差的余弦求解．

解答 解：（1）由已知可得点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），点B的坐标为（-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$），
∴$sinα=\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{3}{5}$，
则$\frac{1+sin2α}{cos2α}$=$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}$=$\frac{sinα+cosα}{cosα-sinα}$=$\frac{\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}$=-7；
（2）$sin（α+β）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$cos（α+β）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且β=（α+β）-α，
∴cosβ═cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，考查了两角差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题．