Question

已知直线l：mx-（m²+1）y=4m（m≥0）和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．有以下几个结论：
①直线l的倾斜角不是钝角；
②直线l必过第一、三、四象限；
③直线l能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段圆弧；
④直线l与圆C相交的最大弦长为

4 5

5

；
其中正确的是

 

．（写出所有正确说法的番号）

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：在①中，直线l的方程可化为y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，从而直线l的斜率k的取值范围是[0，

1

2

]，由此得到直线l的倾斜角不是钝角；
在②中，由直线l的方程为：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，得当k=0或k=

1

2

时，直线l不过第一、三、四象限；
在③中，圆心C到直线l的距离d≥

4

5

＞1，从而直线l与圆C相交，圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

，从而直线l不能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧；
④由圆心C到直线l的距离d≥

4

5

，得直线l与圆C相交的最大弦长为

4 5

5

．

解答： 解：在①中，直线l的方程可化为y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，
于是直线l的斜率k=

m

m2+1

，
∵|m|≤

1

2

(m2+1)，∴|k|=

|m|

m2+1

≤

1

2

，
当且仅当|m|=1时等号成立．
∵m≥0，
∴直线l的斜率k的取值范围是[0，

1

2

]，
∴直线l的倾斜角不是钝角，故①正确；
在②中，∵直线l的方程为：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，
∴当k=0或k=

1

2

时，直线l不过第一、三、四象限，故②错误；
在③中，直线l的方程为：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，
圆C的方程可化为（x-4）²+（y+2）²=4，
∴圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2，
于是圆心C到直线l的距离d=

2

1+k2

，
由0≤k≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
∴若直线l与圆C相交，
则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于

2π

3

，
故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为

1

2

的两段弧，故③错误；
由③知圆心C到直线l的距离d≥

4

5

，
∴直线l与圆C相交的最大弦长为：2

4-( 4 5 )2

=

4 5

5

，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查圆的性质和直线与圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，是中档题．