Question

13．己知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{12-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：点（m，3）在圆（x-10）²+（y-1）²=13内．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后根据若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，然后求出实数m的取值范围．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{12-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，则$\left\{\begin{array}{l}{12-m＞0}\\{m-4＞0}\\{12-m＞m-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜12}\\{m＞4}\\{m＜8}\end{array}\right.$，即4＜m＜8．即p：4＜m＜8．
若（m，3）在圆（x-10）²+（y-1）²=13，则$\sqrt{（m-10）^{2}+（3-1）^{2}}$＜$\sqrt{13}$，
即（m-10）²＜9，即-3＜m-10＜3，所以7＜m＜13．即q：7＜m＜13．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{4＜m＜8}\\{m≥13或m≤7}\end{array}\right.$，解得4＜m≤7．
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥8或m≤4}\\{7＜m＜13}\end{array}\right.$，解得8≤m＜13．
综上实数m的取值范围是4＜m≤7或8≤m＜13．

点评 本题主要考查复合命题真假判断，根据条件求出命题p，q为真命题时的等价条件是解决本题的关键．