Question

18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{cos（\frac{3π}{2}+A）}$．
（I）求C的值；
（II）若$\frac{c}{a}$=2，b=4$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．
（II）由余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（I）∵$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{cos（\frac{3π}{2}+A）}$．
∴$\frac{\sqrt{3}c}{cosC}$=$\frac{a}{sinA}$，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}sinC}{cosC}=\frac{sinA}{sinA}$，可得：tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴C=$\frac{π}{6}$．
（II）∵C=$\frac{π}{6}$，$\frac{c}{a}$=2，b=4$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：（2a）²=a²+（4$\sqrt{3}$）²-2×$a×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理可得：a²+4a-16=0，解得：a=2$\sqrt{5}$-2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2$\sqrt{5}$-2）×$4\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{15}$-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．